现代偏微分方程补充笔记(Holder空间)

发布日期：2025-08-07 17:49    点击次数：129

参考书目

[1]伍卓群等.椭圆与抛物型方程引论.北京:科学出版社,2003

Sobolev空间的内插不等式

定义(一致内锥) 若存在有限锥,使得每一点是一个包含于内且全等于的有限锥的顶点,就称具有一致内锥性质.

定理(Ehrling-Nirenberg-Gagliardo插值不等式) 设为具有一致内锥性质的有界区域,则对任意,恒存在只依赖于与区域的常数,使得对任何,有

这表明中函数的中间导数的模可通过它本身及其最高阶导数的模估出.

Holder空间和

定义(半范数) 设是定义在上的函数,对于,引入Holder半范数

用表示上满足的函数全体,并定义范数

进一步,可对非负整数,定义函数空间

以及半范数和范数

若对任意,都有,则称.

为Banach空间,若令,则得到Lipschitz空间.

Holder空间的内插不等式

定理 设为中半径为的球, ,则对任意的,有

定理(内插不等式) 设为中半径为的球, ,则对任意的,有

取,则得

Sobolev嵌入定理

定理(嵌入定理) 设为一有界区域, .

对于,理解为对任意,总可以通过修改在一个零测度集上的函数值,使.

定理(Poincare不等式) 设, 为一有界区域.

(1)若,则

(2)若满足局部Lipschitz条件, ,则

这里表示的测度.

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